A Closed Form Solution to Natural Image Matting – 笔记

笔记-A-Close-Form-Solution-to-Natural-Image-Matting

A Closed Form Solution to Natural Image Matting – 笔记

2020-7-17

# 完整计算流程

对于灰度图,每个像素的值满足:

转换一下可以得到:

假设在一个小窗口内,都是常数,则有 (其中代表窗口内的每一个像素位置,窗口大小一般为)。

所以有能量函数:

它可以写成矩阵的形式:

,则上式写成:

在固定的情况下,求,记,即求

其中:

的梯度,令其梯度为0得最优解:

所以最优解代入能量函数中得到:

代表单位矩阵),则:

写成:

展开可得的第项(文末推导

最终需要求解使得的值最小:

满足条件的有很多,所以需要给它加上额外的约束:scribbles:

(其中为包含scribbles的图像数据,是一个的矩阵。 用于指示scribbles覆盖的像素的位置,是一个的对角矩阵, 主对角线上的个值,属于scribbles的位置为1,矩阵其余位置都为0。)

为用户输入的先验数据赋予一定的权重,最终求解的能量函数为:

求该能量函数的梯度:

令梯度为0,获得最优解

由此获得的解析形式:

通过读代码可以发现,程序中就是通过求解方程 获得 的解

 

# 推导的第

要求的第项, 其中 代表第个窗口,以下均针对第个窗口。

已知:

可写成:

的逆:

所以,计算

计算

计算为单位矩阵):

因此,的第项为:

由23式可得:

所以24式所得的第项即的第项}

对于,其中,现找出同时包含第个像素和第个像素的所有窗口,窗口序号为,取的第项的值,累加便得到的第项。

 

# 参考了:

留下评论

电子邮件地址不会被公开。 必填项已用*标注